La théorie des nombres moderne a été fondée par un magistrat toulousain, Pierre de Fermat. Né en 1601 à Beaumont-de-Lomagne dans le Languedoc, il devient conseiller au parlement de Toulouse en 1631 et le restera jusqu'à son décès, à Castres, en 1665. Grâce à son éducation classique, il maniait aussi bien le latin, le grec, l'italien que l'espagnol.

Mais c'est de mathématiques qu'il était féru. Il exerça ses talents en géométrie, en calcul différentiel et intégral, en algèbre, et surtout en probabilités et en théorie des nombres. Ses travaux sont connus grâce à leur publication posthume assurée par son fils Samuel, et à l'abondante correspondance entretenue par Fermat avec des mathématiciens comme Roberval, Frénicle de Bessy, Pascal, et surtout le père Marin Mersenne.

Voici deux exemples d'énoncés d'arithmétique qui lui sont dus :

• Tout entier de la forme 1 + 4k avec k entier positif est somme de deux carrés.
• Pour tout entier a et tout nombre premier p, le nombre a P-a est divisible par p.

Ce dernier résultat est connu sous le nom de " petit " théorème de Fermat. Le " grand " ou " dernier " théorème de Fermat est un énoncé qu'il a écrit, probablement vers 1637, dans la marge de son exemplaire (aujourd'hui disparu) des Œuvres de Diophante éditées par C.G. Bachet de Méziriac :

En termes mathématiques modernes, pour n entier au moins égal à 3, l'équation xn + yn = zn n'a pas de solution en entiers positifs x, y, z.
C'est pour montrer qu'il n'y a pas d'entiers positifs vérifiant la relation x4 + y4 = z4 que Fermat a introduit sa méthode de descente infinie : si une solution (x, y, z) existait, il arrive à en construire une autre (x', y', z') vérifiant 0 < z' < z, et en déduit donc une contradiction.

Il fallut attendre 1995 pour voir le cas général du dernier théorème de Fermat définitivement établi, grâce aux travaux d'Andrew Wiles, reposant sur des méthodes extrêmement sophistiquées, combinant des idées nouvelles avec tout l'arsenal des mathématiques développées par les nombreux spécialistes qui se sont intéressés à cette question durant plus de trois siècles.

La théorie des nombres ainsi créée par Fermat devait être développée plus tard par Leonhard Euler (1670-1743), puis Carl Friedrich Gauss (1777-1855), pour devenir une branche très active de la recherche mathématique actuelle. Tous les deux ans le Prix Fermat de recherche en mathématique décerné à Toulouse récompense des travaux originaux dans des domaines où l'œuvre de ce génial précurseur a été déterminante.

Michel Waldschmidt
professeur à l'université Pierre et Marie Curie (Paris VI)
vice-président de la Société mathématique de France

Source: Commemorations Collection 2001